NMR Quantum Computer

edited by 민혜근 (숙명여자대학교 물리학과)

양자컴퓨터를 구현하기 위해서는 5가지의 조건이 필요한데, 정보의 구현(qubit), 초기상태의 준비(initializing), 연산(operation), 결맞음(coherence)의 유지, 연산결과 읽기(read out)가 그것이다. 그런데, 핵자기공명 양자컴퓨터에서는 결맞음 시간이 연산을 수행하는데 걸리는 시간보다 충분히 길다. 핵자기공명 양자컴퓨터에서의 나머지 4가지 조건은 다음과 같이 구현된다.


Qubit


분자 내의 핵스핀들은 주위의 화학적 환경 차이 때문에 각기 다른 공명 주파수를 갖게 되므로 큐빗이 될 수 있다. 또한 분자 내의 핵스핀 사이의 상호작용을 이용하여 조건부-NOT과 같은 두 큐빗 양자게이트를 쉽게 구현할 수 있다.


초기화


양자컴퓨터의 입력상태는 pure state여야 한다. 그러나 핵자기공명 양자컴퓨터에서는 거시적으로 ensemble을 출력으로 읽을 수 있고, 또 상온에서 핵스핀들은 highly mixed state로 존재하기 때문에 이 상태로 부터 pure state와 같은 연산 결과를 주는 pseudo pure state를 구현해야 한다. 이 과정이 초기 상태를 준비하는 단계이다. pseudo pure state를 구현하여 실험하는 기법에는 temporal averaging과 spatial averaging 등이 있다.

spin- $ \frac{1}{2}$ 입자의 열평형상태의 density matrix는

$\displaystyle \rho=\frac{1}{Z} e^{H/k_B T} \approx \frac{1}{Z} (1-\frac{\hbar}{k_B T} \sum_k \omega_k I_z^k) \equiv \frac{1}{Z} 1-\rho_\Delta$

이다. 여기서, $ \rho_\Delta$를 deviation density matrix라고 부른다. 위의 density matrix에 unitary 변환을 해주면

$\displaystyle U\rho U^{\dagger}=\frac{1}{Z}1 + U\rho_\Delta U^{\dagger}$

이므로 핵스핀계의 상태와 dynamics는 deviation density matrix만으로 기술될 수 있다. 따라서 deviation density matrix가 pure state의 density matrix와 같게 되었을때 전체 density matrix를 pseudo pure state라고 하고 초기화한 것이 된다.


spatial averaging


spatial averaging은 gradiant field를 이용하여 ensemble로 측정된 신호를 공간적으로 평균하는 방법이다. 같은 종류 핵의 two-spin system에서 열평형상태의 density matrix는

$\displaystyle \rho_\Delta \approx \frac{\omega I_z^1}{k_B T} + \frac{\omega I_z... ...n{array}{cccc} 1&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&-1 \end{array} \right)$

이다.

다음의 연산

$\displaystyle \left[ \frac{\pi}{4} \right]_x^{1,2} \rightarrow J_{12} \left( \f... ... \left[ \frac{\pi}{6} \right]_y^{1,2} \rightarrow \left[ \text{grad}(z) \right]$

을 density matrix에 작용하면

$\displaystyle \sqrt{\frac{3}{8}}[I_z^1 + I_z^2 + 2I_z^1 I_z^2] = \sqrt{\frac{3}... ...in{array}{cccc} 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{array} \right)$

이 되고, 단위행렬을 빼고 난 첫번째 행렬이 pseudo-pure state가 된다. 다른 종류 핵의 경우, 열평형 상태의 density matrix는

$\displaystyle \rho_\Delta\approx\frac{\omega_1 I_z^1}{k_B T} + \frac{\omega_2 I... ...0\\ 0&0&-\omega_1+\omega_2&0\\ 0&0&0&-\omega_1-\omega_2 \end{array} \right)$

이다. 같은 종류 핵의 핵스핀의 경우보다 용이하게 pseudo pure state를 구현할 수 있다.


temporal aveaging


temporal averaging은 같은 종류 핵이든 다른 종류 핵이든 상관없이 density matrix에서 원하는 pure state에 해당하는 상태를 제외한 나머지 상태를 순환시키고 그 결과를 평균하여 pure state에 해당하는 항만 남기는 방법이다. two-qubit의 경우

$\displaystyle \mbox{$\vert{00}\rangle$}$$\displaystyle \rightarrow$   $\displaystyle \mbox{$\vert{00}\rangle$}$

$\displaystyle \mbox{$\vert{10}\rangle$}$$\displaystyle \rightarrow$   $\displaystyle \mbox{$\vert{01}\rangle$}$$\displaystyle \rightarrow$   $\displaystyle \mbox{$\vert{11}\rangle$}$$\displaystyle \rightarrow$   $\displaystyle \mbox{$\vert{10}\rangle$}$

으로 만드는 unitary operator는

$\displaystyle U = \left(\begin{array}{cccc} 1&0&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ 0&1&0&0 \end{array} \right)$

이다.

만약 대각행렬 $ \rho_0 =$   diag$ [P_1, P_2, P_3, P_4]$가 있다면 U에 의해 $ \rho_1 =$   diag$ [P_1,P_3,P_4,P_2]$로 변환된다. 또, $ U^{\dagger}$를 취해주면 $ \rho_2 =$   diag$ [P_1,P_4,P_2,P_3]$로 변환된다. $ \rho_\Delta$에서의 $ \rho_0, \rho_1, \rho_2$를 더해주면 effective pure states는

$\displaystyle \overline{\rho} = \frac{1}{k_B T}$   diag$\displaystyle [3\omega_1 + 3\omega_2, -\omega_1 -\omega_2, -\omega_1 - \omega_2, -\omega_1 - \omega_2]$

가 된다.


연산


양자컴퓨터에서의 연산은 unitary 변환을 말하며 모든 unitary operation gate는 universal quatum gate로 나타낼 수 있다. universal gate를 구현하기 위해서는 각각의 gate에 대응하는 unitary 변환 $ U$가 Hamiltonian의 time evolution인

$\displaystyle U = e^{\imath \mathcal{H} t / \hbar}$

로 나타낼 수 있어야 한다.


NOT gate


핵자기공명에서 정자기장에 수직인 방향으로 $ 180^\circ$ pulse를 가함으로써 spin-up상태를 spin-down상태로 만들 수 있는데, 그러한 transformation matrix로는

$\displaystyle e^{-\imath \pi I_x} = \left(\begin{array}{cc} 0&-i\\ -i&0\\ \end{array} \right)$

이 있다.


Hadamard gate


Hadamard gate는 고유상태를 중첩상태(superposition state)로 변환시키는 gate이다.

$\displaystyle H$   $\displaystyle \mbox{$\vert{0}\rangle$}$$\displaystyle \rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} ($$\displaystyle \mbox{$\vert{0}\rangle$}$$\displaystyle +$   $\displaystyle \mbox{$\vert{1}\rangle$}$$\displaystyle ),\;\; H$   $\displaystyle \mbox{$\vert{1}\rangle$}$$\displaystyle \rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} ($$\displaystyle \mbox{$\vert{0}\rangle$}$$\displaystyle -$   $\displaystyle \mbox{$\vert{1}\rangle$}$$\displaystyle ) $

이다.

Hadamard gate에 의한 회전은 y축을 중심으로 z축을 $ 45^\circ$ 회전시킨 축을 회전축으로 하여 $ 180^\circ$ 회전하는 것에 해당한다. 이것을 on-resonance pluse를 여러개 사용하여 구현하면

$\displaystyle H\simeq I_y (-\frac{\pi}{4}) I_x (\pi) I_y (\frac{\pi}{4})$

이다.


Phase gate


Phase gate는 phase 를 변환시키는 gate로 변환을 해주면

$\displaystyle R_\theta$   $\displaystyle \mbox{$\vert{0}\rangle$}$$\displaystyle \rightarrow$   $\displaystyle \mbox{$\vert{0}\rangle$}$$\displaystyle , R_\theta$   $\displaystyle \mbox{$\vert{1}\rangle$}$$\displaystyle \rightarrow e^{\imath \theta}$   $\displaystyle \mbox{$\vert{1}\rangle$}$

가 된다. Phase gate는 z축을 중심으로 $ \theta$ 만큼 회전시켜 구현한다.

$\displaystyle R_\theta \simeq I_z (\theta)$

$\displaystyle I_z (\theta) = I_x \left( \frac{\pi}{2} \right) I_y \left( \theta \right) I_x \left( -\frac{\pi}{2} \right)$


Controlled-NOT gate


Controlled-NOT gate는 한 qubit 상태가 $ \mbox{$\vert{1}\rangle$}$일때 다른 qubit에 NOT gate를 작용시키는 gate이다. Controlled-NOT gate는 하나의 Controlled phase와 두 개의 Hadamard gate로 나타낼 수 있다. 여기서 Controlled-phase gate 는

Controlled$\displaystyle -R_\pi = \left(\begin{array}{cccc} 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&-1 \end{array} \right)$

이다.

이때, Controlled$ -\pi$ 는 $ I_z^1 (\frac{\pi}{2}) I_z^2 (\frac{\pi}{2}) J_{12} (-\frac{\pi}{2})$ 의 unitary 변환으로 구현할 수 있다. $ J_{12}(-\frac{\pi}{2})$는 두 spin 사이의 J-coupling이 이루어짐을 의미한다.


결과 읽기


핵자기공명 양자컴퓨터에서는 연산이 끝난후 FID(Free Induction Decay)를 측정해서 결과를 얻는다. 그런데 spin-up과 spin-down상태는 정자기장에 평행한 방향이므로 FID를 발생시키지 않는다. 이때 핵스핀 상태를 y축을 중심으로 $ 90^\circ$ 회전시키는 read-out pulse를 가해 $ \mbox{$\vert{0}\rangle$}$ 과 $ \mbox{$\vert{1}\rangle$}$을 각각 $ I_x$의 eigenvalue 1과 -1인 상태로 변환시켜 FID를 얻는다. 이 신호의 크기는

$\displaystyle S(t) \propto N\gamma\hbar \;$   tr$\displaystyle \{\sum_j I^j_+ \rho (t)\}$

$\displaystyle [I^j_+ = I^j_x + \imath I^j_y , \rho(t) = e^{-\imath \mathcal{H} t/ \hbar} \rho(0) e^{\imath \mathcal{H} t /\hbar}]$

인데, qubit 상태에 따라 신호의 부호가 달라진다. 즉, peak의 부호가 달라진다. $ \mbox{$\vert{0}\rangle$}$은 positive peak, $ \mbox{$\vert{1}\rangle$}$은 negative peak로 읽을 수 있다.




비록 핵자기공명 양자컴퓨터가 약 10-qubit 이상 정보를 구현할 수 없어 실용적인 양자컴퓨터가 될 수 없다는 한계를 가지고 있지만, 양자컴퓨터의 여러 후보들 중 실험적 구현에서 앞서왔다. 그런만큼 앞으로도 양자컴퓨터를 이해하고, 구현하고자 하는 사람들에게는 핵자기공명 양자컴퓨터가 textbook이 될것이다.

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