Quantum inseparability and nonlocality
entangled state
어떤 양자시스템을 기술하는 상태벡터가 다음과 같이 subsystem의 상태벡터의 곱으로 정의될 때 두 subsystem A와 B는 separable되어있다고 하며 그렇지 않을 때 얽혀(entangled)있다고 한다.
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이상의 정의는 system이 순수상태에 있었을 때에 국한한 것이지만 mixed state의 경우에도 비슷한 논의를 전개할 수 있다. Mixed state의 경우 양자상태는 상태벡터가 아닌 density matrix로 기술되는데 임의의 density matrix는 각각이 순수상태인 density matrix의 밀도합으로 나타낼 수 있다. 일반적으로 이러한 표현은 유일하지 않은데 어떤 dnesity matrix가 다음과 같이 각 density matrix가 얽혀있지 않은 subensemble의 합으로 나타내질 수 있을 때 이 density matrix는 separable이라 하며 그렇지 않은 경우를 inseparable이라 한다.
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bell's inequality and quantum nonlocality
아인시타인은 양자역학의 반대자로 유명하다. 그가 반대한 것은 양자역학의 확률론적인 해석이 아니라 양자역학의 실재론이었다. '슈뢰딩어의 고양이'와 같은 예에서 보듯이 '고전적인 의미에서 객관적 실재란 존재하지 않는다'라는 양자역학의 실재론은 상당히 받아들이기 힘든 생각이다. 아인시타인은 물리적 실재는 측정과 관계없이 존재한다고 믿었고 그 믿음에 의해 물리법칙은 국소성을 만족할 수 밖에 없다고 생각했다. 이러한 생각은 후의 연구자들에 의해 숨은변수 이론으로 발전했다. 그런데 bell's inequality 에 의하면 숨은 변수이론이 (아인시타인이 지키고자 하는) 국소적이라면 양자역학과 상충되는 결과를 낳게 된다. 따라서 양자역학이 맞느냐 국소적 숨은변수이론이 맞느냐는 실험으로도 증명할 수 있는 문제이고 실재로 실험적으로는 양자역학이 맞다는 방향으로 거의 증명되고 있다. (거의라는 말을 쓴 이유는 아직 실재의 실험에서는 측정의 감도가 충분히 높지 못해 국소적 숨은변수이론을 완전히 퇴출시키지 못하고 있기 때문이다.)
여기서는 대표적인 entangled state인 EPR state에 대한 spin polarization의 측정문제를 통해서 이 문제를 살펴보겠다. 이하의 논의에서, 먼저 각각의 실재론에 바탕을 둔 국소적 숨은변수이론과 양자역학의 출발점이 어떻게 다른지를 살펴보겠다. 그리고 국소적 숨은변수이론에 바탕을 둔 bell's inequality가 어떻게 유도되며 이 결과가 양자역학적인 결과와 어떻게 차이가 나는지를 살펴 보겠다.
*이하의 논의에서 bell'inequality의 증명은 황원영 박사의 박사학위 논문중 일부를 요약한 것입니다.*
이제 초기에 각운동량이 0인 source로 부터 spin 1/2인 두 물체가 갈라져 나온 상황을 생각하자.이때 시스템의 스핀상태만 고려하면 시스템은 다음과 값은 상태벡터로 기술된다.
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분리된 물체 중 하나는 관측자 A에게 다른 하나는 관측자 B에 의해 측정되며 두 관측자는 각각 임의의 방향을 축으로 하여 스핀의 polarization을 측정할 수 있다. 또 두 관측자가 충분히 멀리 떨어져 있는 상황이 우리가 고려하는 상황이다.
이제 이 상황이 국소적 숨은변수 이론에서 어떻게 이해될 수 있는지를 살펴보자. 일단 A와 B가 충분히 떨어져 있으므로 국소성에 의해 각 스핀의 측정이 반대편 스핀에 영향을 끼치지 않는다. 또한 각각의 측정값을 정확히는 알 수 없지만 어떤 숨은 변수가 존재해서 그 숨은 변수와 측정하고자 하는 축의 방향에 의해 측정값이 완전히 결정된다고 볼 수 있다. 만일 우리가 숨은 변수의 값을 알 수 있으면 우리는 측정값을 완전히 알 수 있지만 숨은 변수가 어떤 값을 갖는지 모르기 때문에 우리가 스핀에 대해 가질 수 있는 정보는 확률적이 된다. 즉 스핀의 측정값에 대한 확률분포는 숨은 변수의 확률분포에 기인한 것이 된다. 이 논의에서 중요한 것은 각 스핀의 측정값은 이미 결정되어 있는데 다만 숨겨진 변수를 모르기 때문에 측정시 확률적 기대값을 얻게 된다는 점이다.
이에 반해 양자역학은 스핀의 상태는 정해진 것이 아니며 어떤 중첩된 상태에 있을 뿐이다. 다만 측정 시 측정기기와 측정되는 스핀의 상호작용의 결과로 스핀이 가질 수 있는 가능한 여러 값 중 하나의 값이 측정된다. 즉 양자역학의 해석에서는 측정과 상관없이 정해진 스핀의 물리량은 없다.
이제 국소적 숨은 변수를 가정하고 논의를 진행시켜보자. 가정에 의해 A가 a를 축으로 정하여 스핀의 polarization를 측정하면 그 측정값 f는 다음과 같이 a와 숨은변수 k의 함수가 된다. 마찮가지로 B가 b를 축으로 하여 스핀의 polarization를 측정한 값 g도 b와 k의 함수가 된다.
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한편 숨은 변수의 확률 분포를 다음과 같이 생각할 수 있다.
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정확한 분포를 모르더라도 이 확률분포는 측정과정과는 무관한 정해진 값이다. 이제 확률 분포에서 가능한 숨은 변수의 집합을 다음과 같이 4개의 집합으로 나누자.
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이제 S를 다음과 같이 정의하자.
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위 식에서 a, a', b, b'는 각각 측정을 위한 축이다. 그런데 숨은 변수 k의 확률분포는 측정하고자 하는 축에 무관하므로 다음이 성립한다.
이 사실과 f,g가 각각 1또는 -1 이라는 사실에서 다음의 부등식이 어렵지 않게 유도된다.
즉 어떤 숨은변수 이론이더라도 그 이론이 국소적이려면 위의 부등식을 만족해야 한다. 이것이 bell'inequality이다. 이 부등식은 숨은변수이론이 어떠한 구조를 가지느냐에 대해서는 전혀 상관하지 않고 있다. 필요한 가정은 숨은변수가 있어서 그 값을 모르더라도 측정되는 물리량은 정해져 있다는 것과 국소성뿐이다.
그러면 양자역학적인 계산은 EPR state에 대해 어떤 측정결과를 예상하는지 알아보자. a축과 b축사이의 사이각이 세타라 하면 약간의 계산으로 다음이 성립함을 알 수 있다.
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a,b,a',b'의 방향이 그림과 같다고 하자.
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이때 A,B가 선택한 축의 방향에 따라 다음과 같은 기대값을 얻을 수 있다.
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위에서 양자역학이 예상하는 S의 기대값은 bell'inequality에서 허용된 국소적 숨은변수이론의 예상값의 범위를 벗어나 있다. 결과적으로 양자역학의 예견과 국소적 숨은 변수이론의 예견이 다르다.
국소적 숨은변수 이론이 만족해야 할 부등식은 꼭 [10]식과 같아야 할 필요는 없다. 여러 형태의 부등식이 존재하며 이러한 부등식들은 국소적 숨은변수이론의 필요조건이 된다. EPR상태를 이용한 여러 실험결과들은 국소적 숨은변수이론이 틀렸다는 방향으로 나오고 있다. 그런데 국소적 숨은변수이론이 완전히 퇴출되려면 실험시 측정의 감도가 어느정도 이상이 되어야 하는데 현재까지 이를 충족시키는 실험은 없다.
이상의 논의는 EPR state에 국한한 논의였다.그런데 순수상태의 경우 entangled state이기만 하면 양자역학의 예측과 국소적 숨은변수이론의 예측이 다르게 되는 상황이 반드시 존재함이 증명되어 있다. mixed state의 경우에는 inseparable state이지만 양자역학의 예측과 같은 결과를 주는 국소적 숨은변수를 찾을수 있는 state도 있게 되어 문제가 복잡해진다.